Histoires de Mathématique

Ahmed NOUAR
Laboratoire de mathématiques appliquées & d’Histoire &didactique des mathématiques
Université 20 août 1955 — Skikda

Conférence présentée devant les enseignants et les étudiants de l’EPST d’Annaba, à l’occasion de la journée du savoir le 16 Avril 2015.

I-  Introduction

L’Histoire des mathématiques n’a pas été un long fleuve tranquille. Elle fut plutôt une succession de soubresauts et de stagnations, de remises en cause, de doute et de révolutions. Toutes les civilisations qui se sont succédées depuis la préhistoire ont, chacune à sa manière, apporté leur contribution à ce qui est devenu de nos jours une grande science omniprésente dans tous les domaines de l’activité humaine. Dans cette conférence nous allons évoquer quelques petites histoires qui ont contribué à l’émergence de nouveaux courants de la pensée mathématique et fixé pour de longues périodes les lois générales de l’évolution des concepts et des idées contribuant ainsi à façonner les contours de la grande Histoire des Mathématiques. Nous allons évoquer les petites histoires de problèmes devenus légendaires par l’ampleur des efforts de recherche qu’ils ont contribué à mettre en œuvre et par l’envergure scientifique des grands hommes qu’ ils ont mobilisés à travers les âges , de problèmes qui ont parfois conduit à l’impasse avant de se découvrir bien des siècles plus tard des chemins imprévus. Nous allons commencer nos petites histoires au Ve siècle avant notre ère, les mathématiques n’étaient pas encore celles que nous connaissons aujourd’hui mais le génie grec et les besoins objectifs de l’histoire avaient déjà entamé le long processus de systématisation et d’abstraction qui allait faire des mathématiques une science cohérente fondée sur l’axiomatique et le raisonnement déductif.

II.   Les trois grands problèmes

      C’est ainsi qu’on évoque dans l’histoire des mathématiques de l’antiquité les trois problèmes qui furent posés en Grèce au Ve siècle avant notre ère :
1. La duplication du cube
2. La trisection de l’angle
3. La quadrature du cercle

Le premier problème consiste à construire un cube dont le volume serait égal au double de celui d’un cube donné. Dans notre langage mathématique actuel ce problème se pose en ces termes : connaissant a , trouver x vérifiant l’équation :
x3=2 a3 .
Autour de ce problème s’est tissée une légende rapportée par Ératosthène selon laquelle les habitants de l’île de Délos en Grèce, victimes d’une épidémie de peste, demandèrent à l’oracle ce qu’il fallait faire pour que cessât l’épidémie. La réponse fut qu’il fallait doubler l’autel d’Apollon qui était de forme cubique. On s’aperçut rapidement de la difficulté à résoudre ce problème à l’aide de la règle et du compas, c’est-à-dire à obtenir le nombre que nous notons actuellement par  3√2
par une combinaison finie des quatre opérations élémentaires et de l’extraction de la racine carrée. Tout ceci suscita un grand mouvement de recherche et contribua au développement de branches entières des mathématiques, tant en géométrie (les coniques) qu’en algèbre (les équations algébriques). Une réponse définitive fut donnée à la question posée par ce problème, seulement en 1837, par le théorème de Wantzel qui donna les conditions nécessaires et suffisantes pour qu’un nombre soit constructible. Appliqué à notre problème ce théorème nous donne que la duplication du cube est impossible à réaliser à l’aide de la règle et du compas.

Dans le deuxième problème il est demandé de diviser un angle donné en trois angles égaux. Ce problème rencontra les mêmes difficultés et, après plusieurs siècles, fut transformé par les mathématiciens arabo-musulmans en une équation du troisième degré :
3 x −4 x3= a

avec a=sin α , le sinus de l’angle donné et x =sin ( α / 3) le sinus de l’angle recherché.

De par son analogie avec la duplication du cube le problème de la trisection de l’angle trouva la même réponse dans le théorème de Wantzel.

Le problème de la quadrature du cercle est beaucoup plus passionnant que les deux premiers à telle enseigne que l’expression « quadrature du cercle » est devenue dans le langage usuel synonyme de « mission impossible », de « problème sans solution ». Ce problème consiste à déterminer le côté du carré dont la surface serait égale à celle délimitée par un cercle donné. Dans sa forme simplifiée ce problème peut se formuler par l’équation
x2=π
où x est le côté recherché et revient donc à calculer la racine carrée du nombre π à l’aide de la règle et du compas. Le mathématicien allemand Ferdinand Von Lindemann (1852-1939) démontre en 1882 que le nombre π est transcendant. C’est en effet ainsi qu’on va désigner ces nombres étranges qu’ on n’arrive pas à obtenir par un nombre fini d’opérations élémentaires.

III.    Le Ve postulat d’Euclide

Dans son œuvre « les éléments » le mathématicien de l’époque Hellénistique, Euclide (300 avant notre ère), a voulu présenter les connaissances mathématiques de son époque dans un même édifice dont les fondements sont les définitions et les axiomes et dont l’outil de construction est le raisonnement déductif. Parmi les axiomes posés à la base de la géométrie, le plus célèbre est sans conteste celui connu sous le nom de V e postulat d’Euclide. Voici en quels termes il fut formulé pour la première fois dans « les éléments » :

Si deux droites dans un plan sont rencontrées par une autre droite, et si la somme des  angles internes d’un côté est strictement inférieure à deux angles droits, alors ces droites se rencontreront si on les prolonge suffisamment du côté où la somme des angles est strictement inférieure à deux angles droits.

Le schéma suivant illustre l’énoncé de ce postulat:

Capture du 2015-10-30 16:08:03

Dans nos manuels actuels de géométrie ce postulat est formulé de manière beaucoup plus simple :

Par un point en dehors d’une droite donnée il passe une et une seule droite parallèle à la droite donnée.

       De prime abord ce postulat apparaît d’énoncé compliqué et semble moins évident que les quatre premiers postulats. D’aucuns envisagèrent d’ores et déjà de démontrer que ce postulat est une conséquence des autres. Il s’en suivit de longs siècles de recherche durant lesquels l’intérêt scientifique de la question se mêla à la passion à tel point que le mathématicien hongrois Farkas BOLYAI (1775-1856) crût bon de tout faire pour dissuader son fils János, lui-même mathématicien, de s’occuper de ce problème des parallèles et voici en quels termes il lui écrivit à ce sujet :

Pour l’amour de Dieu renonces-y s’il te plaît. Ne le crains pas moins que les passions sensuelles parce que lui aussi te prend tout ton temps et te prive de la santé, de la paix de l’esprit et de la joie de vivre.

      L’aventure dura presque vingt-trois siècles jusqu’à ce que le mathématicien russe Nicolaï Ivanovitch LOBATCHEVSKI (1792-1856) présente une géométrie dans laquelle le Ve postulat est remplacé par un autre axiome, il suppose tout simplement que par un point en dehors d’une droite donnée il passe plus d’une droite parallèle à cette droite et obtient alors un système axiomatique cohérent qu’aucune contradiction ne vient remettre en cause. Dans cette nouvelle géométrie les vérités d’Euclide ne sont pas forcément avérées et la somme des angles d’un triangle par exemple y est strictement inférieure à deux angles droits. D’autres géométries non euclidiennes firent leur apparition et après les levées de bouclier que suscite toute innovation révolutionnaire on se mit même à trouver des applications importantes à ces bizarreries nées dans l’imagination de quelques chercheurs inspirés.

IV.    Les nombres irrationnels

Si nous supposons que le côté du carré et sa diagonale sont commensurables alors un nombre impair est égal à un nombre pair.

Dans cette phrase attribuée à Aristote se dissimule l’une des plus grandes crises qu’aient connu les mathématiques depuis leur naissance. Dans notre langage actuel elle se traduit par :

Dire que √ 2 est un nombre rationnel revient à dire qu’un nombre entier peut être pair et impair à la fois.

       Cette dernière phrase nous indique l’essence de la démonstration de l’irrationalité du nombre √ 2 . Les conséquences de cette découverte pour le développement ultérieur des mathématiques fut considérable et tout d’abord sur la notion de nombre elle- même. La sacralité du nombre que les pythagoriciens mirent à la base de tout leur système mathématico-philosophique fut remise en cause et pour une longue période la préférence fut donnée à l’approche géométrique dans le traitement des problèmes mathématiques pour éviter le recours à l’arithmétique des nombres rationnels et les impasses auxquelles elle peut conduire. Une conséquence beaucoup plus positive se fit sentir beaucoup plus tard avec l’extension de la notion de nombre et les changements qualitatifs qu’elle provoqua dans le développement des mathématiques.

V.    La question de l’infini

Les « problèmes » relatifs à la question de l’infini firent leur apparition dès le Ve siècle avant notre ère. Ils restent célèbres dans l’Histoire des mathématiques par les paradoxes de Zénon d’Élée dont le plus connu est celui d’Achille et la tortue. Les siècles de débat, pour ne pas dire, de polémiques autour de ces paradoxes, les joutes passionnées qui firent s’opposer des scientifiques, des philosophes et même des hommes de religion ont surtout contribué à développer nos conceptions de l’infini et du continu et enrichi notre approche de la question par les notions d’infini potentiel et infini actuel. Le débat a également permis de souligner la distinction qu’il y a lieu de faire dans toute approche et tout raisonnement entre le fini et l’infini, bien plus que cela , il devint de plus en plus pertinent de considérer que l’infini possède une autre axiomatique et même une autre arithmétique que celles du fini. Sur ce thème nous allons vous exposer les termes de la polémique qui opposa deux grands noms de la civilisation arabo-musulmane, Abu Hamid El Gazali et Mohamed Ibn Rochd.

Dans son célèbre ouvrage « Tahafout el falasifa » (effondrement des philosophes) Abou Hamid El Ghazali se donne pour mission de détruire par les arguments de la polémique philosophique la théorie de la prééternité du monde Professée principalement par Ibn Sina et El Fârâbî escomptant par-là démontrer l’inutilité de la philosophie et des philosophes. El Ghazali écrit:

La prééternité du monde est impossible car elle implique pour les astres des rotations en nombre infini alors que ces nombres possèdent des quarts, des moitiés et des sixièmes. Ainsi, le soleil accomplit sa rotation en une année et saturne le fait en trente ans. Le nombre de rotations de saturne est donc égal au trentième du nombre de rotations du soleil et le nombre de rotations de Jupiter est égal au douzième de celui du soleil car elle accomplit sa rotation en douze ans. De plus le nombre de rotations de saturne et celui du soleil sont infinis. Mais l’un est égal au douzième de l’autre. Que répondrez-vous à celui qui affirme que ceci est contradictoire ?

Moins d’un siècle plus tard Ibn Rochd prend la défense des deux philosophes et attaque El Ghazali dans « Tahafout ettahafout » (L’effondrement de l’effondrement) et « Fasl el maqal » (Traité décisif sur l’accord de la religion et de la philosophie). Voilà comment il répond dans le premier ouvrage aux arguments d’El Ghazali :

Si vous supposez des mouvements dans des intervalles de temps limités et si vous considérez une partie de chacun de ces mouvements dans un même intervalle de temps alors le rapport de la partie à la partie sera celui du tout au tout.

Puis Ibn Rochd poursuit en expliquant :

Si vous considérez le nombre de rotations du soleil et de saturne dans une même durée déterminée alors le rapport entre les quantités totales de mouvement sera celui de la partie à la partie, mais si entre les deux quantités totales de mouvement il n y a point de rapport du fait que chacune d’elles est potentielle dans le sens où le mouvement n’a ni début ni fin et s’il y a un rapport entre deux parties déterminées il n’en découle pas le même rapport entre les deux quantités totales de mouvement car il n y a point de rapport entre deux quantités supposées infinies. S’il n y a pas de finitude, il n y a ni supériorité ni infériorité.

Dans notre langage mathématique actuel nous pouvons traduire l’argumentation d’Ibn Rochd par :

Capture du 2015-10-30 16:18:54

Ce raisonnement illustre très clairement le fait que le comportement des grandeurs infinies est foncièrement différent de celui des grandeurs finies tant pour les questions d’ordre que pour les lois de l’arithmétique. La pertinence des arguments d’Ibn Rochd est encore plus saisissante mise en parallèle avec les termes du raisonnement du grand savant italien Galilée, cinq siècles plus tard, face au paradoxe des cercles concentriques :

Nous essayons avec nos esprits finis de discuter de l’infini en lui attribuant des propriétés que nous donnons au fini et au borné, mais
je pense que ceci est mauvais car nous ne pouvons pas dire des quantités infinies que l’une est plus grande, plus petite ou égale à l’autre.

Confronté à un autre paradoxe, celui du nombre des entiers positifs et du nombre de leurs carrés, Galilée écrit :

La totalité de tous les nombres est infinie et le nombre des carrés est infini, le nombre des carrés n’est pas inférieur à la totalité de tous les nombres et cette dernière n’est pas supérieure au premier et finalement les attributs « égal », « supérieur » et « inférieur » ne sont pas applicables à l’infini mais seulement aux quantités finies.

Conclusion

Tout ce que je viens de vous raconter dans cette conférence m’inspire deux réflexions :

Voilà comment on construit de grandes théories avec un peu de curiosité et beaucoup d’intelligence humaine.
Pour arriver à la vérité il faut avoir le courage de dire : « et pourtant elle tourne »

Références

1.    Collectif sous la direction de A.P. YOUCHKEVITCH. Histoire des mathématiques. Tome 1. Naouka, Moscou 1970.
2.    Phillip J. DAVIS, Reuben HERSH. L’univers mathématique. Gauthier-Villars, Paris 1985.
3.    Ahmed NOUAR. Le débat sur l’infini dans la tradition scientifique musulmane. Éclosions mathématiques et philosophiques. Université Mentouri de Constantine. 25 et 26 avril 2009.

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